Equations aux Valeurs Propres
Fonctions Propres
Les fonctions propres de
et
associées aux valeurs propres
et
respectivement sont solutions des équations :
Or,
et
n'ont aucune dépendance de
, par conséquent,
ne forme pas un E.C.O.C.
L'introduction d'une troisième observable (
par exemple) permet de compléter l'étude de
. Ainsi,
Pour un système dont le hamiltonien
reste invariant sous une rotation
, on a
, les fonctions
s'écrivent sous la forme :
En effet,
et
dépendant uniquement de
et
, leurs vecteurs communs notés
vérifient (en coordonnées sphériques) :
Il vient, en substituant
dans
:
Et, en utilisant la condition de normalisation pour
:
Remarque :
La composante
ne dépend que de
, on écrit les harmoniques sphériques
sous la forme séparée :
Expression des vecteurs et valeurs propes de
Les solutions normalisées sont :
qui satisfait la relation d'orthogonalité :
de plus, on doit avoir, en vertu de la périodicité sur
,
, soit,
Etats propres de
Afin de compléter la dépendance en
, on procède comme pour
, i.e., pour une valeur donnée de
on doit avoir :
En utilisant l'expression en coordonnées sphériques de
, on a :
La solution est :
d'où on déduit une expression de l'harmonique sphérique
:
avec
L'action de
sur
donne :
L'action répétée (
fois) de
s'exprime comme suit :
après égalisation, on obtient l'expression de
, pour
:
Propriétés des harmoniques sphériques
Les
sont des fonctions propres communes à
et
. Elles sont orthonormales (en fait, elles constituent une base orthonormée de l'espace de Hilbert des fonctions de carré sommable en
et
).\ref{Figure-HS}
la relation de fermeture s'écrit :
Les
sont complexes :
et l'action de l'opérateur parité se traduit par :
On voit que
est un état propre de l'opérateur parité
associé à la valeur propre
.
On peut également établir un lien entre les harmoniques sphériques et les polynômes de Legendre. En effet, ces polynômes sont définis par (où
):
Ainsi,
Cas
On peut, ainsi, vérifie aisément que
Cas général
:
.
On peut écrire
en coordonnées cartésiennes en substituant par les relations
.
Exemple :
et
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En représentation
, les fonctions propres associées de
et
sont les
vérifiant les équations \ref{L2} et
. La dépendance radiale (en
) n'est pas prise en compte, (
et
ne forment pas un E.C.O.C.). On doit alors chercher une troisième équation, comme déjà mentionné précédemment, et on doit pouvoir séparer les variables
et
. Ceci est réalisé si on écrit :
L'équation aux valeurs propres pour un hamiltonien (supposé de symétrie centrale, comme c'est le cas des hydrogénoïdes qui sera traité plus loin) permet d'obtenir cette troisième équation.
