Cours de Mécanique Quantique I

• (i) L'état quantique d'un corpuscule est caractérisé par une fonction d'onde .

• (ii) est interprétée comme l'amplitude de probabilité de position. La probabilité de trouver la particule, au cours d'une mesure, à l'instant t, dans l'élément de volume autour du point est: ,

où est une constante de normalisation tel que : et définit la densité de probabilité (donc doit être de carré sommable).

• (iii) Principe de décomposition spectrale: Si l'on veut mesurer une grandeur , le résultat appartient à un ensemble de valeurs propres telles que :

  • est une fonction propre à laquelle est associée le valeur propre :

• • étant l'instant de la mesure :

La probabilité de trouver, lors de la mesure, à l'instant , la valeur propre s'obtient en décomposant sur les fonctions propres :

Application: cas de l'hydrogène

Soit la position .

Lorsque tend vers , tend vers et lorsque tend vers , tend vers .

Le maximum de probabilité de présence (en posant ):

rayon de Bohr.

Soit une particule libre se mouvant le long de l'axe (cas unidimensionnel). On a vu que l'on peut écrire (d'après la dualité onde-corpuscule):

et

En introduisant la pulsation et le vecteur d'onde :

et

Cela revient à associer à cette particule ( ) une onde de vecteur d'onde , tel que :

satisfait aux relations :

Remarque :

• (i) Même dans le cas où la particule n'est pas libre, la mécanique ondulatoire postule que les variables dynamiques et sont toujours écrites sous cette forme.

• (ii) Il ne s'agit pas ici d'une vibration comme dans l'électromagnétisme (EM), mais de l'amplitude de probabilité associée à la particule.

• (iii) est décrite par une onde plane (OP) qui n'est pas de carré sommable et, par conséquent, ne peut représenter un état physique.

Une superposition d'ondes planes peut être de carré sommable, on associera donc à une particule une superposition de ces ondes appelée paquet d'ondes.

Si l'onde plane satisfait à une équation de propagation ( comme les vibrations en EM) alors le paquet d'onde (qui est une somme de fonctions de ce type) y satisfait également :

où est une fonction régulière, et .

Cas unidimensionnel :

à , est la transformée de Fourier de :

détermine la forme du paquet d'ondes, elle module les ondes planes qui composent celui-ci. La forme dépend donc de .

est maximale lorsque les ondes planes interférent de manière constructive et s'annule loin de ce maximum.

On cherche le maximum de auquel correspond le centre du paquet d'onde. Soit l'argument de tel que :

et intervalle centré autour de

il vient :

On reporte l'expression de et :

où on a posé ( est la position du centre du paquet d'onde).

D'une manière générale:

Si on prend où

les plus grandes valeurs de seront obtenues pour :

On définit alors la vitesse de groupe du centre du paquet d'onde :

Remarque :

• i)

• ii) pour un paquet d'ondes lié à la particule il faut que soit égale à la vitesse de la particule :

  

.

Application :

Paquet d'ondes à . Cas :

Superposition de 3 ondes :

• .

• .

est l'intervalle entre deux zéros consécutifs :

Représentation d'un paquet d'ondes

Au centre ( ) les ondes interfèrent de façon constructive plus loin, en raison de leur déphasages, leur somme s'annule. A partir d'ondes illimitées ( ) on obtient par leur superposition une onde limitée dans l'espace (son étendue est telle que : ).

Remarque :

Ce paquet d'onde représente l'état d'une particule dont la probabilité de présence (à ) est nulle en dehors d'un intervalle de largeur : .

Conséquence fondamentale :

En écrivant : et

il vient :

Soit

Ces relations qui traduisent le principe d'incertitude de Heisenberg sur la position et la quantité de mouvement ont une portée fondamentale sur la notion de "mesure".

• Si au cours d'une mesure sur un ensemble de particules identiques on détermine la position d'une particule dans une région "étalée" de , alors la mesure (simultanée) de l'impulsion d'une particule de ce système donne des résultats dans un intervalle de largeur .

Inversement, la mesure de l'impulsion avec une grande précision, donne un résultat de la position dans l'intervalle .

On vient de voir comment associer une onde à une particule à travers un paquet d'ondes planes. On a vu aussi que cette onde (ou paquet d'ondes) doit satisfaire à une équation de "propagation" comme c'est le cas des vibrations en EM.

La fonction d'onde d'un système microscopique (quantique) définit entièrement son état dynamique ( ). Par conséquent, on doit imposer à l'équation de propagation certaines condition :

* elle doit être linéaire, homogène : si et sont deux solutions alors toute combinaison linéaire de et est aussi solution : ( ) pour .

* elle doit être au premier ordre par rapport au temps : toute évolution ultérieure et déterminée par la donnée de  à l'instant .

* à la limite, elle doit conduire à une équation de la mécanique classique.

Cas simple d'une particule libre

En remplaçant dans l'expression de :

Soit encore :

C'est l'équation de Schrödinger pour une particule libre.

Cas d'une particule dans un potentiel indépendant du temps :

On obtient, après un calcul similaire :

Equation de Schrödinger pour une particule dans un potentiel indépendant du temps : ( particule libre soumise à un champ scalaire).

L'équation de Schrödinger s'écrit :

On pose et en remplaçant :

est solution de l'équation de Schrödinger.

La densité de probabilité est indépendante du temps.

(2)

(3) soit, en introduisant le hamiltonien  :

C'est l'équation aux valeurs propres, avec :

• un opérateur linéaire différentiel :

Si et si et sont deux solutions de , alors :

• Les énergies possibles sont les valeurs propres de H

• permet de chercher parmi tous les états possibles de la particule ceux qui sont stationnaires.

Soit une fonction propre associée à la valeur propre :

En général :

où on a considéré : et .

si : état qui caractérise la particule à .