Méthode des Opérateurs
Soit le hamiltonien
et le commutateur
.
Les solutions propres vérifient :
.
On introduit les opérateurs:
et les opérateurs :
Remarque :
et
sont hermitiens
et
sont adjoints l'un de l'autre :
et
On peut récrire
en fonction de
et de
:
de plus, on a :
.
Soit
un ket propre associé à la valeur propre
:
est aussi ket propre de
associé à la valeur propre
.
incrémente
de
: c'est l'opérateur de création
décrémente (réduit)
de
: c'est l'opérateur d'annihilation
Si
désigne la plus petite des valeurs propres associée à
, alors on doit avoir :
.
En agissant sur
par
on a :
.
D'où on déduit que
.
Remarque : On voit d'après ce résultat que l'énergie du niveau le plus bas n'est pas nulle mais vaut
. Ce résultat est contraire à ce que l'on a en mécanique classique où l'énergie la plus basse est
.
Par applications successives de
à
, on a :
avec
.
* Expression de
:
Soit
et
et
sont des coefficients de normalisation.
Comme on a:
et
on a :
or
avec
et comme
on tire :
