Rappels
Soit un système formé de deux particules, de masses
et
, interagissant via un potentiel indépendant du temps (
). Le hamiltonien du système s'écrit :
L'évolution dans le temps de l'état de ce système est donnée par :
On peut adopter le système de coordonnées liées au centre de masse (de masse
) :
On a alors,
Cette équation peut être séparée de la manière suivante :
le potentiel étant indépendant du temps, on écrit :
la partie spatiale
peut être séparée aussi sous la forme de produits de fonctions des coordonnées du centre de masse (CM)\ref{Figure-CM},
, et relatives,
:
tel que :
La première équation est analogue à l'équation de Schrödinger pour une particule libre de masse
. La seconde équation, est l'équation de Schrödinger pour une particule de masse
placée dans un potentiel
et,
correspond à énergie totale (deux particules), i.e.
.
Le problème à deux corps est ramené à celui de deux problèmes à un corps : le centre de masse considéré comme une particule libre, et la particule de masse
se déplaçant dan le potentiel
. Le choix du système de coordonnées lié au centre de masse permet de s'affranchir des ses coordonnées relatives : on peut alors rechercher les solutions de l'équation en (
) :
