Fonction d'Onde Radiale dans le cas d'un Hydrogénoïde
Le potentiel
s'écrit :
.
En posant,
et
, l'équation de Schr\"odinger devient :
Et on a toujours un comportement asymptotique de
lorsque
.
Lorsque
(i.e.
), on a
et l'équation admet alors une solution asymptotique vérifiant :
et s'écrivant :
pour
, le deuxième terme diverge, par conséquent
.
La solution de l'équation doit ainsi avoir un comportement identique aux asymptotes pour
et
. On définit la fonction :
Après substitution dans l'équation de Schrödinger, on obtient :
On recherche une solution telle que
et on reporte encore dans l'équation, (\ref{Eq:v}), le but étant de trouver les coefficients
. On trouve la relation de récurrence :
ainsi, en partant d'une valeur
, il sera possible d'obtenir tous les coefficients du développement
, et, par suite, la solution
sera déterminée totalement.
Dans le cas
, (
est grand) on a :
et on a alors,
et
Mais, pour
,
diverge, ce qui implique que les termes
soient en nombre fini : au delà d'une valeur de
, les
sont nuls. (
).
Ainsi
et, en reportant les expressions de
,
et
, on a :
les états propres s'écrivent finalement sous la forme :
Pour l'état fondamental
\\
et
. L'état propre correspondant est donc :
Remarque :
est un coefficient du développement de
: le seul non nul. Avec la condition de normalisation :
Soit :
Pour
La dégénérescence totale est :
est déterminé à partir de la condition de normalisation.
, on a un seul coefficient (c'est
).
Pour une valeur donnée de
, la dégénérescence sera
. Les valeurs permises pour
sont :
, et pour chaque valeur de
, il y a
valeurs permises pour
(projection de
sur
)
Une écriture des fonctions
, sous forme de polynômes de Laguerre avec des relations de récurrence, donne :
