Cours de Mécanique Quantique 2

Remarque :

(*) est une équation différentielle de premier ordre en : connaissant , il est possible de déterminer pour quelconque.

On introduit l'opérateur évolution qui vérifie les propriétés et équations suivantes :

On reconnaît les propriétés de groupe.

De plus vérifie l'équation :

La conservation de la probabilité nécessite :

Par conséquent, est un opérateur unitaire.

Remarque :

Si (le système est conservatif), une solution qui satisfait la condition initiale prend la forme suivante:

et la solution formelle de l'équation de Schrödinger dépendant du temps s'écrit :

.

Variation de la valeur moyenne

Soit une observable et la valeur moyenne de dans l'état normé .

Si ne dépend pas de , et si , alors l'observable est une constante du mouvement.

Exemple

Soit une particule dans un potentiel ne dépendant pas du temps, de hamiltonien tel que : ,

et (i.e. est une base propre).

On suppose que l'état, à un instant , s'écrit dans la base propre comme suit :

On a de plus :

Soit, en utilisant l'opérateur évolution dans le temps et la relation de fermeture dans la base des états propres  :

On retrouve le principe de superposition que dans le cas d'un potentiel indépendant de , les états stationnaires   sont des solutions particulières de l'équation de Schrödinger dépendant de .

Analogie avec la mécanique classique (équation de Hamilton)

• Pour , et pour un système décrit par le hamiltonien ,

on a et , ce qui donne :

• Pour , on obtient :

• Il y a analogie avec la mécanique classique (équation de Hamilton) :

et (la force dérive du potentiel ).

Mesure et relations d'incertitude

Si deux observables associées à deux grandeurs (dynamiques) physiques commutent, il est possible de mesurer ces deux grandeurs simultanément.

Si , les mesures obéissent à la condition d'incertitude :

Si et , sachant que , on obtient : .