Formalisme du Moment Cinétique
Le moment cinétique vérifie les relations :
et
.
.
Etats et valeurs propres de
Comme
,
et
peuvent être diagonalisés séparément. (On aurait tout aussi bien pu choisir
ou
au lieu de
).
Soit
le ket propre commun à
et
et
les valeurs propres associées respectivement.
On introduit les opérateurs de montée et de descente :
On montre les relations suivantes :
et on a les relations suivantes pour
:
et
(1-) On fait agir
sur
. Sachant que
, on a :
Ainsi,
sont des kets propres de
associés aux valeurs propres
respectivement.
(2-) de même on a :
De (1-) on infère que l'action de
sur
produit un état
:
Comme
, on en déduit qu'il y a, pour une valeur de
(valeur propre de
), une valeur limite pour
.
En effet :
soit,
.
Et pour
, l'état correspondant ne peut être élevé par l'action de
.
Après
opérations successives de
sur
, on arrive à
tel que :
De
et
on conclut que
et pour atteindre
, on a dû appliquer
:
soit :
.
(
peut ainsi être soit entier, soit demi-entier.)
On note alors :
et
Soit,
D'après ce qui précède, les valeurs propres et vecteurs propres des observables
et
sont donnés par :
avec
et
.
Ainsi, pour
donné, nous avons
valeurs de
.
Les spectres de
et
sont discrets et la condition d'orthonormalité est :
On se propose maintenant d'exprimer l'action de
sur les états
:
Calcul pour
et
:
Calcul pour :
un calcul analogue donne :
Il s'en suit :
A partir de ces relations, on calcule l'action des opérateurs
et
:
D'où on déduit les résultats suivants :
Représentation matricielle
,
commutent, l'ensemble des vecteurs communs peut être pris comme base. (base discrète, orthonormale et complète).
Les matrices associées à
et
sont diagonales dans
(leur base commune) :
Les éléments diagonaux pour
et
sont respectivement :
et
.
Pour les opérateurs
et
, les éléments de matrice associée s'écrivent :
On considère le cas où
.
- Trouver les matrices représentant
et
.
Pour
, les valeurs possibles pour m sont
. Les vecteurs de la base sont :
.
Or, on a
La matrice représentant
s'écrit alors :
Un calcul similaire donne pour
:
On remarque que
est diagonal et les éléments diagonaux sont les valeurs propres
et
.
Représentation standard
Généralement
et
ne forment pas un E.C.O.C. à eux seuls. L'ECOC d'un système contiendra d'autres observables
et les vecteurs de la base commune dépendra d'autres nombres quantiques :
où
.
Ces états forment une base d'un sous-espace
tel que
.
L'action de
(pour
) sur ces vecteurs
donne des vecteurs orthonormées des sous-espaces
de même dimension :
On construit, comme précédemment,
sous-espaces
de dimensions :
(pour une valeur de
donnée et indépendamment de
).
L'union de ces sous-espaces pour chacune des valeurs possibles de
constitue l'espace complet des états du système. C'est ce qui définit la base standard :
Pour classer les états
et assurer l'invariance d'un sous-espace donné
sous l'action de
, on regroupe ensemble ceux pour lesquels
et
ont des valeurs données au lieu du couple
:
Représentation géométrique
La représentation géométrique du moment cinétique
(et de sa composante
) peut être abordée en lui associant (pour une valeur donnée de
) un vecteur de module :
Et dont la projection suivant
est :
et
ne peuvent être définies séparément :
L'extrémité du vecteur
associé à
décrit (une révolution autour de
) un cercle : base d'un cone de sommet
:
Puisque les valeurs de
sont définies pour un
par :
, l'angle
est quantifié et , par conséquent, les seules valeurs qu'il peut prendre sont :
Exemple : pour
, on a les valeurs suivantes de
