Théorie des Perturbations
Cas Non Dégénérés
Cette méthode est utilisée lorsque le hamiltonien est proche de celui d'un système de hamiltonien
dont on peut calculer les solutions exactes (il peut s'agir du même système dont on connaît les solutions avant l'application d'une perturbation). La différence entre les deux, très petite, est introduite comme une perturbation au hamiltonien non perturbé
:
Une telle situation se retrouve dans le cas de systèmes soumis à l'action d'un champ
ou
faible.
Soit
la famille des vecteurs propres de
associés aux valeurs propres
(rappelons-le, supposées jusqu'ici non dégénérées).
L'idée de base est de considérer les vecteurs et valeurs propres de
sous forme de développements en puissances de
:
Remarque : pour
on retrouve les solutions de
.
L'équation de Schrödinger s'exprime sous la forme :
En identifiant les coefficients de même puissance en
on obtient (en s'arrêtant aux deux premiers termes) :
ordre
en
:
ordre
en
:
ordre
en
:
Puisque
est supposé être proche de
(l'état recherché), on suppose que l'on a
. (En fait,
et on normalise pour l'égalité).
Soit,
Elle a pour expression, d'après ce qui précède,
L'énergie perturbée est donc :
Dans certains cas, le terme
s'annule et on doit déterminer la correction à l'ordre suivant.
Pour déterminer
, on l'exprime dans la base
:
(Si
,
)
A partir de l'équation \ref{eq. :O1} (
), on obtient, en projetant sur
tel que (
):
(où on a appliqué
à gauche et utilisé le fait que
).
On déduit de ce résultat l'expression de la correction à l'état au premier ordre :
Partant de l'équation\ref{eq. :O2} :
et en projetant sur
on obtient :
ce qui donne :
En remplaçant par l'expression de
déjà calculée :
A l'ordre 2, l'énergie de l'état perturbé est :
En général, un calcul à l'ordre deux est suffisant.
Pour le calcul de la correction à l'état,
, on part, de la même manière que pour
, de l'équation \ref{eq. :O2}, avec :
ce qui donne, après projection sur l'état
:
Le calcul des termes A et B donne :
En utilisant la relation de fermeture on obtient :
et finalement, on a pour l'état corrigé :
Remarque :
1- en raison des termes
présents au dénominateur, on comprend pourquoi on s'est intéressé aux cas non dégénérés.
2- pour que le calcul perturbationnel soit justifié, on doit avoir :
