Cours de Mécanique Quantique 2

Soit une particule de masse et de charge se déplaçant dans un potentiel harmonique à une dimension et soumise à un champ électrique faible orienté dans la direction . On cherche à déterminer l'expression exacte de l'énergie puis à calculer la correction au premier ordre non nul de l'énergie et, en fin, à comparer ces deux quantités.

Soit le hamiltonien de l'oscillateur chargé en absence du champ électrique :

Son interaction avec le champ électrique se traduit par le terme : où désigne l'amplitude du champ électrique (opérateur associé etc.)

Le hamiltonien total s'écrit alors :

Une solution exacte peut être trouvée pour ce système sans recourir aux approximations. On pose : . On a :

qui n'est autre que l'expression du hamiltonien d'un oscillateur à la quantité finie près  . Les énergies correspondantes sont :

Pour un traitement par perturbations ( faible), on utilisera les opérateurs de création et d'annihilation. On rappelle quelques relations de la seconde quantification pour les opérateurs de création et d'annhililation :

, et

Au premier ordre, on a :

Et au deuxième ordre :

avec,  .

Le calcul des termes de la sommation donne sauf pour deux termes consécutifs et :

dans ces cas :  .

On obtient :

Ainsi,

les niveaux d'énergie sont simplement décalés de la même quantité ( ).

La correction, à l'ordre , de l'état correspondant s'écrit :

En fin, l'état est décrit par :

Un atome d'hydrogène est soumis à un champ électrique faible dirigé suivant , . L'atome est dans son état fondamental et on ignore le degré de liberté intrinsèque de spin. On se propose d'étudier l'effet de ce champ sur l'atome et de calculer une valeur approchée de la polarisabilité de l'atome.

En absence du champ ( ), l'atome est décrit par le hamiltonien :

Les états propres sont les états  , tels que :

Si ( ), l'interaction est décrite par : .

On a alors, . Dans ce cas, l'atome d'hydrogène possède un état fondamental non dégénéré et des états excités dégénérés (   pour l'état fondamental et pour le premier état excité). Par conséquent, la théorie des perturbations s'applique uniquement à l'état fondamental  .

L'énergie de l'atome à l'ordre 2 s'écrit :

où

(en effet, les fonctions et étant, respectivement, paire et impaire, l'intégrale est nulle).

Il n'y a pas d'effet Stark linéaire (dépendant de ) : l'atome dans son état fondamental n'a pas de moment dipôlaire électrique permanent. Il reste une contribution quadratique (terme en ), c'est l'effet Stark quadratique :

La polarisabilité de l'atome d'hydrogène est donnée par :

Soit

Pour calculer cette somme, on majore le terme en considérant le dénominateur comme constant (en notant le rayon de Bohr) :

où :

arrivés à ce stade du calcul, on peut remplacer par les expressions mathématiques, et , soit :