Cours de Mécanique Quantique 2

La mèthode est indiquée lorsque le terme d'énergie potentielle varie lentement en fonction de la position. Elle s'applique plus facilement aux cas unidimensionnels et à ceux pour lesquels l'équation de Schrödinger peut être ramenée à un cas unidimensionnel.

Soit le hamiltonien à une dimension et indépendant du temps, défini par : $\qquad H = \frac{-\hbar^ 2}{2 m} \frac{d^ 2}{dx^ 2} + V(x)$

Si $V(x) = V_0 $ une constante, les solutions de l'équation $ H \psi(x) = E \psi(x)$ sont des combinaisons linéaires de fonctions telles que :

La condition d'avoir un potentiel variant lentement se traduit de deux manières équivalentes :

ou encore,

• Sur le schéma sont représentés (à titre illustratif), l'énergie , le potentiel et la longueur d'onde associée à la particule. Si et si, sur l'échelle équivalente de longueur, le potentiel varie lentement, on peut alors utiliser l'approximation .

Dans la limite classique, , on retrouve une situation où le potentiel varie très lentement.

L'expression de obtenue pour un potentiel variant très lentement suggère qu'on peut écrire de fa\c{c}on générale :

En substituant dans l'équation de Schr\"odinger on obtient :

Soit,

Jusqu'ici, aucune approximation n'est faite : cette équation est équivalente à l'équation de Schroedinger. Cependant, sa résolution est plus difficile et on doit alors faire des approximations.

Si , alors . Il s'ensuit que le terme s'annule et comme il est proportionnel à - et dans la limite classique , on peut, par conséquent, utiliser comme paramètre d'un développement limité.

On substitue cette expression dans \ref{eq:S} et on identifie terme à terme les puissances égales en :

On peut résoudre ce système pour puis , , etc..

La méthode permet de trouver les deux premiers termes : \\

pour l'équation \ref{eq-i}, on suppose (il s'agit de la limite classique), on a :

( est la définition classique de l'impulsion.)

En utilisant cette expression dans l'équation \ref{eq-ii}, on obtient celle de et en procèdant de même dans l'équation \ref{eq-iii}, on obtient celle de :

Remarque :

sera petit chaque fois que sera petit et que pas très proche de .

Par conséquent, si varie lentement et si reste très différent de , on peut se limiter à et .

Remarque : Si : la région est classiquement permise.

Si : la région est classiquement interdite.

Si : le point de séparation est dit point de rebroussement.

 : En mécanique classique, ces points de rebroussement (ou de retour) peuvent être illustrés en considérant un potentiel unidimensionnel et indépendant du temps tel qu'une particule dont l'énergie totale, entre deux points et , est au plus égale au potentiel ( ), la particule ne peut pas s'échapper ( ) et rebrousse son chemin à chaque fois que ou

Dans le cas semi-classique, l'approximation de la fonction d'onde s'écrit :

Si , on retrouve les expressions d'ondes planes :

{\rem{Un critère de validité de la méthode peut être obtenu en exigeant que le terme soit très petit :

ce qui peut être satisfait si et si varie très lentement.

Dans le cas où , est imaginaire pure et la solution s'écrit :

sont des constantes arbitraires et la validité de la méthode repose sur les mêmes conditions (\ref{condWKB}).

Les solutions obtenues (pour et ) sont applicables lorsque (ou ) : elles sont des asymptotes à la solution totale.

Si on s'intéresse aux points de rebroussement ( ), elles ne sont plus valables. Or, pour rendre compte de la continuité de la solution, on doit connecter (raccorder) les deux solutions de part et d'autre de chacun des points de rebroussement.

soit un potentiel représenté par la courbe sur le schèma :

-------------------Courbe

Pour ce potentiel, on a : , et . L'espace est partagé en deux régions. Dans la région , est réelle et la solution s'écrit :

Dans la région (classiquemet interdite) et la solution s'écrit :

Remarque :

Par ce choix des bornes, les intégrales sont négatives. Les deux solutions sont des asymptotes pour très loin de .

Lorsque , on a nécessairement et après calcul, on obtient :

Si, de plus, on normalise la fonction d'onde, on obtient la formule de connexion suivante :

Malgré le fait que la fonction ne croît pas indéfiniment lorsque , il est quand même utile de considérer le cas où elle croît exponentiellement en s'éloignant de . La formule de connexion prend alors la forme suivante :

Il est à noter que les formules de connexions ne peuvent être utilisées que dans le sens des flêches :

• si on sait que la solution décroît pour , on utilisera la première formule (cosinus)

• par contre, savoir que la fonction croît exponentiellement (pour ) ne permet pas d'utiliser la deuxième formule (sinus)

• de fa\c{c}on similaire, si, pour , on sait que la solution est de type cosinus, on ne peut considérer que pour la solution décroît exponentiellement.

De manière conséquente : si la solution loin de ( ) est de la forme :

(où est une phase donnée), alors, la solution loin de (i.e. pour ) doit être une exponentielle croissante :

Dans le cas particulier où  , avec , l'asymptote est une exponentielle décroissante.

%%---------------------------------------------- Fin Figure 3

Une étude identique donne les formules de connexion suivantes :

La dernière relation donne une exponentielle décroissante pour  .