Cours de Mécanique Quantique I

En Physique classique, l'état dynamique d'un système est déterminé à chaque instant par la connaissance de quantités physiques – les variables dynamiques – telles que la position et la quantité de mouvement des particules qui constituent le système. Ces variables peuvent, en principe, être mesurées simultanément avec une précision infinie.

En mécanique quantique, la situation est différente en raison de l'importance de l'acte de « mesurer » et l'état d'un système ne peut être prédit. En effet, quand on mesure une variable, l'état dynamique du système évolue et change de manière imprédictible, et selon le principe de Heisenberg, sa détermination est limitée par l'incertitude avec laquelle deux variables conjuguées peuvent être mesurées simultanément. Comment décrire alors, mathématiquement, l'état d'un système à un instant donné ? Et comment déterminer l'état de ce système à l'instant quelconque si l'on connaît son état à un instant ?

D'un autre côté, la mécanique quantique permet de prédire le nombre n de fois où on peut trouver une certaine valeur de la mesure après une mesure sur un ensemble de particules identiques et indiscernables. Le rapport définit alors la probabilité de trouver le système dans l'état ayant pour valeur propre cette mesure. Comment, étant donné l'état du système, exprimer cette probabilité et prévoir les résultats de mesure des diverses grandeurs étudiées ?

Afin d'étudier ces aspects de la mécanique quantique on fait appel à des postulats qui seront énoncés et formulés ci-après.

Remarques :

• - « dans certains cas » fait allusion aux ensembles statistiques de particules qui doivent être étudiés dans le cadre de la physique statistique.

• - en principe, et d'après la définition de la fonction d'onde, on considère des ensembles bien que par abus de langage on associe la fonction d'onde à un système particulier (au lieu d'un ensembles de systèmes identiques) : on parle ainsi de fonction d'onde associée à un électron alors qu'en fait il s'agit d'une fonction d'onde associée à un ensemble d'électrons identiques indiscernables tel que la fonction décrive la probabilité de trouver un de ces électrons dans un état donné. La fonction étant de carré sommable, en sommant sur tout l'espace on normalise à l'unité.

  En traduisant le premier postulat, deux fonctions telles que et , où est une constante complexe arbitraire, représentent le même état , on choisit alors la constante c de sorte que l'on ait :

  

  On remarque que si on écrit cette constante sous la forme : où est un nombre réel, alors les deux fonctions et décrivent le même état tout en conservant la norme de la fonction d'onde et la densité de probabilité reste inchangée :

  

Généralisation :

On considère un ensemble de systèmes identiques (et sans degrés de liberté internes), la fonction d'état ( ou ) associée à cet ensemble dépend, dans l'espace de configuration, des coordonnées et du temps :

De même :

définit la probabilité de trouver, à l'instant , le système (la particule) dans le volume autour de et le système dans le volume autour de et ainsi de suite..

On écrit aussi la probabilité de trouver, à l'instant t, la particule dans le volume autour de indépendamment des positions des autres particules :

Remarques:

• i) - étant donné et deux fonctions d'onde décrivant deux états possibles d'un ensemble de systèmes quantiques, alors toute combinaison linéaire , où et sont des nombres complexes, est aussi associée à un état possible de cet ensemble.

• ii) - La phase relative entre les deux fonctions d'onde joue un rôle important dans le calcul de .

Fonctions d'onde dans l'espace des moments :

Pour décrire l'état de la particule aussi utiliser la fonction d'état associée à cet ensemble, exprimée dans l'espace de configuration des moments, en fonction de et du temps . C'est la transformée de Fourier de et elle vérifie donc :